Question

（本小题满分14分）

已知函数，其中.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数的值；

（Ⅲ）设，求在区间上的最大值.（其中为自然对数的底数）

Answer

（Ⅰ）当时，在单调增加

（Ⅱ）当时，在单调减少，在单调增加；

   若时，；

   若时，；

（Ⅲ）时，；时，。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用

（1）利用导数的几何意义可知切点坐标，以及切线的斜率，点斜式方程写出结论。

（2）对数参数a进行分类讨论得到函数的单调性，进而分析得到函数的最值。

【解析】
①（）

令，则，又的定义域是

（0,2）

2

（2，）

0

②设切点为则   解得

③      

令，则，

（Ⅰ）当时，在单调增加

（Ⅱ）当时，在单调减少，在单调增加；

   若时，；

   若时，；

（Ⅲ）当时，在上单调递减，；

综上所述，时，；

时，。