Question

（本题满分14分）

已知函数()，.

（Ⅰ）当时，解关于的不等式：；

（Ⅱ）当时，记，过点是否存在函数图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若是使恒成立的最小值，对任意，

试比较与的大小(常数).

Answer

(I) . (Ⅱ)这样的切线存在，且只有一条。

(Ⅲ)以，

 =.

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，以及不等式的求解，以及最值的研究。

（1）因为当时，不等式等价于，进而得到解集

（2）假设存在这样的切线，设其中一个切点，

∴切线方程：将点T代入得到结论。

（3）对恒成立，所以，构造函数运用导数求解最值得到证明。

(I)当时，不等式等价于，解集为.      3分

(Ⅱ)假设存在这样的切线，设其中一个切点，

∴切线方程：，将点坐标代入得：

，即，        ①

法1：设，则．………………6分

，在区间，上是增函数，在区间上是减函数，

故．

又，注意到在其定义域上的单调性知仅在内有且仅有一根方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条． 8分.

法2：令()，考查，则，

从而在增，减，增. 故，

，而，故在上有唯一解.

从而有唯一解，即切线唯一.

法3：，；

当；

所以在单调递增。 又因为，所以方程

有必有一解，所以这样的切线存在，且只有一条。

(Ⅲ)对恒成立，所以，

令，可得在区间上单调递减，

故，.                       10分

得，.  令，，

注意到，即，

所以，

 =.              14分