Question

（本小题满分12分） 设、是函数图象上任意两点，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若（其中），求；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设（），若不等式＞对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）2；（Ⅱ）．（Ⅲ）.

【解析】本试题主要是考查了函数的性质和数列的综合运用。

（1）因为，通分合并得到结论。

（2）由（Ⅰ）可知，当时，，

由得，，然后倒序相加法得到结论。

（3）由（Ⅱ）得，，不等式即为，运用放缩法得到结论。

（Ⅰ）

．··········· 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，，

由得，，

∴，

∴．······························· 8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）得，，不等式即为，设，

则 ，

∴，

∴数列是单调递增数列，∴，··············· 10分

要使不等式恒成立，只需，即，

∴或解得.

故使不等式对于任意正整数n恒成立的的取值范围是.········ 12分