Question

（本小题满分14分）  已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．

（Ⅲ）求证：（其中，e是自然对数的底数）．

Answer

（Ⅰ）的单调递增区间为，单调递减区间为．

（Ⅱ）．（Ⅲ）见解析。

【解析】本试题主要是考出了导数在研究函数中的运用。

（1）因为当时，（），

（），

由解得，由解得．得到单调区间。

（2）因函数图象上的点都在所表示的平面区域内，则当时，不等式恒成立，即恒成立，设（），只需即可，转化思想的运用。

（3）据（Ⅱ）知当时，在上恒成立（或另证在区间上恒成立）结合放缩法得到结论。

（Ⅰ）当时，（），

（），

由解得，由解得．

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．········· 4分

（Ⅱ）因函数图象上的点都在所表示的平面区域内，则当时，不等式恒成立，即恒成立，设（），只需即可．  5分

由，

（ⅰ）当时， ，当时，，函数在上单调递减，故成立．   6分

（ⅱ）当时，由，因，所以，

①若，即时，在区间上，，则函数在上单调递增，在上无最大值（或：当时，），此时不满足条件；

②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件．·························· 8分

（ⅲ）当时，由，∵，∴，

∴，故函数在上单调递减，故成立．

综上所述，实数a的取值范围是．··················· 10分

（Ⅲ）据（Ⅱ）知当时，在上恒成立（或另证在区间上恒成立），    11分

又，

∵

，

∴．··········· 14分