Question

（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC−A₁B₁C₁中， AC = BC = AA₁，D是棱AA₁的中点，DC₁⊥BD．

（Ⅰ）证明：DC₁⊥BC；

（Ⅱ）求二面角A₁−BD−C₁的大小．

Answer

（Ⅰ）证明：见解析;（Ⅱ）二面角A1−BD−C1的大小为30o．

【解析】

试题分析：（I）易证DC1⊥BD,再根据勾股定理证DC1⊥DC,从而可证得DC1⊥平面DCB,得到DC1⊥BC.

(II)求二面角关键是作出二面角的平面角，取A1B1的中点为M，连结C1M、DM,证明∠C1DM是A1−BD−C1的平面角即可.

（Ⅰ）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．

∵D是AA1的中点， ∴ DC = DC1

又 AC = AA1，∴ DC12 + DC2  = CC12

∴ DC1⊥DC

又 DC1⊥BD，且DC1∩DC = D

∴ DC1⊥平面DCB．

∴ DC1⊥BC

（Ⅱ）  由（Ⅰ）知，DC1⊥BC，

又CC1⊥BC， DC1∩CC1 = C1

∴ BC⊥平面CDC1

∵ B1C1∥BC      ∴B1C1⊥平面CDC1

∴ B1C1⊥A1C1，△A1C1B1为等腰直角三角形

取A1B1的中点为M，连结C1M、DM

∵ 直棱柱的底面A1B1C1⊥侧面AB1，C1M⊥A1B1

∴ C1M⊥平面AB1，C1M⊥BD．

由（Ⅰ）知，DC1⊥平面DCB，∴DC1⊥BD

又C1M∩DC1 = C1，∴BD⊥平面C1MD    MD⊥BD

∴∠C1DM是A1−BD−C1的平面角．

在Rt △C1MD中，C1M = A1C1，C1D =  = A1C1，

∴sin∠C1DM =  = ， ∴∠C1DM = 30o

∴二面角A1−BD−C1的大小为30o．

考点：本小题主要考查了线线，线面，面面之间的垂直与平行关系，以及二面角等知识.