Question

（本小题满分12分）

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且 2a₁ + 3a₂ = 1， = 9a₂a₆．

(Ⅰ) 求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设 b_n= log₃a₁ + log₃a₂ + … + log₃a_n，求的前n项和T_n ；

（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，求使  ≥ (7 − 2n)T_n恒成立的实数 k 的取值范围．

Answer

（Ⅰ）．（Ⅱ）前 n 项和为 − ．（Ⅲ）

【解析】

试题分析：(1)根据2a1 + 3a2 = 1， = 9a2a6．可建立关于a1和q的方程求出a1和q的值，从而得到{an}的通项公式.

(2)再（1）的基础上根据对数的运算性质可得，因而可得 = −2,显然采用叠加求和的方法求和.

（3）可令,采用作差法求的最大值，从而求出k的范围.

（Ⅰ）设数列的公比为(q > 0 )，

由  得，．

故数列的通项公式为．

（Ⅱ ）bn = log3a1 + log3a2 + … + log3an = −

  故  = −2

Tn =  +  +  + … +

          = −2 = −   

所以数列  的前 n 项和为 − ．

（Ⅲ ）化简得对任意恒成立

设，则

当为单调递减数列，

为单调递增数列，

所以，n=5时，取得最大值为．

所以, 要使对任意恒成立，

考点：考查了等比数列的通项、数列求和、不等式恒成立等知识.