Question

（本小题满分14分）

已知函数．

(Ⅰ) 求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数g(x)=x³ + x²在区间上总存在极值？

（Ⅲ）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，

使得成立，试求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；

当时，函数的单调增区间是，单调减区间是.

（Ⅱ）当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值.

（Ⅲ）

【解析】

试题分析：(I)求导，根据导数大（小）于零，求得函数f(x)的增（减）区间，要注意含参时对参数进行讨论.

（II）根据可得，从而可求出,进而得到,那么本小题就转化为有两个不等实根且至少有一个在区间内,然后结合二次函数的图像及性质求解即可.

(III)当a=2时，令，则

.

然后对p分和两种情况利用导数进行求解即可.

（Ⅰ）由知

当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；

当时，函数的单调增区间是，单调减区间是.

（Ⅱ）由,    ∴，.    

故，

∴．

∵ 函数在区间上总存在极值，

∴有两个不等实根且至少有一个在区间内

又∵函数是开口向上的二次函数，且，

∴ 由，

  ∵在上单调递减，所以； 

∴，由，解得；

综上得： 

所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值.

（Ⅲ）令，则

.

①当时，由得，从而,

所以，在上不存在使得；

②当时，,，

在上恒成立，

故在上单调递增.

故只要，解得

综上所述， 的取值范围是

考点：本题考查了导数在求函数单调区间极值最值当中的应用.