Question

定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”． 现有定义在上的如下函数：

①；   ②；    ③；    ④.

则其中是“保等比数列函数”的的序号为（    ）

A．① ②                B．③ ④            C．① ③            D．② ④ 

Answer

C

【解析】本题考查等比数列性质及函数计算，正确运算，理解新定义是解题的关键

因为由等比数列性质知anan+2=an+12，①f(an)f(an+2)=an2an+22=(an+12) 2=f2（an+1），故正确；

②根据解析式可知f(an)f(an+2)=2an2an+2= 2an+an+2≠22an+1=f2（an+1），故不正确；

③结合已知条件，则f(an)f(an+2)= f2（an+1），故正确；

④因为，那么f（an）f（an+2）=ln|an|ln|an+2|≠ln|an+1|2=f2（an+1），故不正确；

故选C。

解决该试题的关键是根据新定义，结合等比数列性质anan+2=an+12，一一加以判断，即可得到结论。