Question

（本小题满分14分）

已知函数，数列满足：，N*．

（1）求数列的通项公式；

（2）令函数，数列满足：，N*），

求证：对于一切的正整数，都满足：．

Answer

（1）；（2）见解析。

【解析】本题考查数列的通项公式的求法和数列的前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理裂项求和法的合理运用．

（1）因为，则，得，即，∴数列是首项为2、公差为1的等差数列，得到通项公式。

（2），故，又，故，

则，即，利用裂项法得到和式。

（1），则，得，即，∴数列是首项为2、公差为1的等差数列，…………4分

∴，即…………6分

（2），故，又，故，

则，即．…………8分

∴

=． …………11分

又，………14分

故．…………14分