Question

（本小题14分）设函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）已知，若函数的图象总在直线的下方，求的取值范围；

（Ⅲ）记为函数的导函数．若，试问：在区间上是否存在（）个正数…，使得成立？请证明你的结论.

Answer

（1）当时，的递增区间是；当时，在上单调递增；在上单调递减

（2）（3）存在，证明见解析

【解析】

试题分析：

（Ⅰ），                   ……2分

①当时，恒成立，故的递增区间是；         ……3分

②当时，令，则.

       当时，；当时，.

故在上单调递增；在上单调递减； ……6分

（Ⅱ）由上述讨论，当时，为函数的唯一极大值点，

所以的最大值为=.                  ……8分

由题意有，解得.

     所以的取值范围为.                                     ……10分

（Ⅲ）当时，.     记，其中.

∵当时，，∴在上为增函数，

即在上为增函数.                                    ……12分

又，所以，对任意的，总有.

所以，

又因为，所以.

故在区间上不存在使得成立的（）个正数….                                ……14分

考点：本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想．