Question

(本题满分12分)

已知函数f(x)=x³+ax²+(a+6)x+b(a,b∈R).

(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值；

(2) 若f(x)为R上的单调递增函数，求a的取值范围.

Answer

【解析】
（1）由函数f(x)的图象过原点，得b=0, ………………………………1分

又f′(x)=3x2+2ax+(a+6), …………………………………………………3分

f(x)在原点处的切线斜率是3，则a+6=3,所以a=-3. ………………………6分

（2）若f(x)为R上的单调递增函数，则f′(x) 在R上恒成立.

即3x2+2ax+(a+6)≥0在R上恒成立，………………………………………8分

因此Δ≤0，有4a2-12(a+6) ≤0    ………………………………………10分

即a2-3a-18 ≤0解得……………………………………………12分

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据函数f（x）的图象过点P（1，2）与函数图象在点P处的切线斜率为8，建立关于a和b的方程组，解之即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x），f(x)为R上的单调递增函数则令f'（x）0即可求出a的范围．

考点：本试题主要考查了导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，以及利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于基础题。