Question

（本小题满分12分）

已知函数在上是增函数，在上是减函数．

（1）求函数的解析式；

（2）若时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）是否存在实数，使得方程在区间上恰有两个相异实数根，若存在，求出的范围，若不存在说明理由．

Answer

（1）

（2）

（3）

【解析】

试题分析: ⑴

依题意得，所以，

从而．                                 ……4分

⑵ ，

令，得或（舍去），

因为在递减，在递增，且，

所以                                       ………8分

⑶设，

即，．

又，

令，得；令，得．

所以函数的增区间为，减区间为．

要使方程有两个相异实根，则有

，

解得．                                     ……12分

考点：本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，利用导数判断函数的单调性，解决有关方程的综合问题.