Question

（12分）已知抛物线y²=8x上两个动点A、B及一个定点M（x₀, y₀），F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N．

（1）求点N的坐标（用x₀表示）；

（2）过点N与MN垂直的直线交抛物线于P、Q两点，若|MN|=4，求△MPQ的面积．

Answer

（1）N(x0+4, 0)；（2）64。

【解析】主要考查直线与抛物线的位置关系，等差数列知识以及转化与化归思想的运用。

（1）设A(x1, y1)、B(x2、y2)，由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得x1+x­2=2x0．

得线段AB垂直平分线方程：

令y=0，得x=x0+4, 所以N(x0+4, 0)．

（2）由M(x0, y0) , N(x0+4, 0), |MN|=4, 得x0=2．

由抛物线的对称性，可设M在第一象限，所以M(2, 4), N(6,0)．

直线PQ: y=x－6, 由得△MPQ的面积是64．

思路拓展：解答此题，等差数列知识在于确定量与量之间的关系；注意充分利用抛物线的几何性质—对称性。