Question

（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．

（1）求这三条曲线的方程；

（2）已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1），，；

（2）

。

【解析】本题主要考查圆锥曲线的定义、几何性质以及灵活运用知识解决问题的能力。

【解析】
（Ⅰ）设抛物线方程为，将代入方程得，

；

由题意知椭圆、双曲线的焦点为；

对于椭圆，；

对于双曲线，

（2）设的中点为，的方程为：，以为直径的圆交于两点，中点为

令

思路拓展：（1）求圆锥曲线的标准方程，往往要优先考虑运用定义、几何性质；

（2）解答存在性问题，往往要先假定存在，然后利用已知条件，若能推出合理结果，则肯定能存在，否则，假设不成立，不存在。