Question

（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值．

Answer

（1）；（2）见解析。

【解析】本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.

（1）【解析】
设椭圆方程为

则直线AB的方程为

化简得.

令则

共线，得

（2）证明：由（I）知，所以椭圆可化为.

在椭圆上，

即     ①

由（1）知

又又，代入①得 

故为定值，定值为1.

思路拓展：（1）求椭圆离心率，主要利用定义及离心率与的关系；

（2）证明中，巧妙利用点在椭圆上，点的坐标适合椭圆方程，及平面向量的数量积计算公式。像这种“设（ ）而不求”、“整体代换”的思想在解析几何问题解答中经常用到。