Question

（14分）如图：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，过线段BD₁上一点P（P平面ACB₁）作垂直于D₁B的平面分别交过D₁的三条棱于E、F、G．

(1)求证：平面EFG∥平面A CB₁，并判断三角形类型；

(2)若正方体棱长为a，求△EFG的最大面积，并求此时EF与B₁C的距离．

Answer

（1）见解析；（2）a。

【解析】

试题分析： (1)分析：要证平面EFG平面ACB1，由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可．

证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a，则A（a，0，0），

B（a，a，0），C（0，a，0），D1（0，0，a），B1（a，a，a），E（xE，0，a），F（0，yF，a），G（0，0，zG）．

∴=（－a，－a，a），=（0，a，a），（－xE，yF，0），=（－a，a，0），=（－a，0，－a），

∵·=(－a，－a，a)·(0，a，a)=0，

∴⊥ ，

同理 ⊥，

而与不共线且相交于点A，

∴⊥平面ACB1，又已知⊥平面EFG，

∴ 平面EFG∥平面ACB1；

又因为⊥平面EFG，所以 ⊥，

则·=0， 

即 (－a，－a，a)·(－xE，yF，0)=0，

化简得  xE－yF=0；

同理    xE－zG=0,  yF－zG=0，

易得   ==，

 ∴  △EFG为正三角形．

(2)【解析】
因为△EFG是正三角形，显然当△EFG与△A1C1D重合时，△EFG的边最长，其面积也最大，此时，=A1C1=·a，

 ∴=

         = ·sin600

         = ·

         =·  ．

此时EF与B1C的距离即为A1C1与B1C的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B1到平面 A1C1D的距离，记A1C1与B1D1交于点O1，作O1H∥D1B并交BB1于点H，则O1H⊥平面A1C1D，垂足为O1，则O1(，，a)，H(a，a，)，而作为平面A1C1D的法向量，

所以异面直线EF与B1C的距离设为d是

d = ==·a．

考点：本题主要考查空间向量的应用,综合考查向量的基础知识。