Question

（14分）在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，－3），试问

（1）在y轴上是否存在点M，满足？（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．

Answer

（1）y轴上所有点都满足关系．（2）y轴上存在点M使△MAB等边，M坐标为（0，，0），或（0，，0）．

【解析】

试题分析：【解析】
（1）假设在在y轴上存在点M，满足．

因Ｍ在y轴上，可设M（0，y，0），由，可得，

显然，此式对任意恒成立．这就是说y轴上所有点都满足关系．

（2）假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．

由（1）可知，y轴上任一点都有，所以只要就可以使得△MAB是等边三角形．

因为

于是，解得

故y轴上存在点M使△MAB等边，M坐标为（0，，0），或（0，，0）．

考点：本题主要考查空间直角坐标系、空间两点间的距离公式的应用。