Question

（本小题满分14分）已知函数=，.

（1）求函数在区间上的值域；

（2）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

（3）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由.

Answer

（1）值域为 .（2）满足条件的不存在. （3）函数不具备性质“”.

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）因为，然后分析导数的正负，然后判定单调性得到值域。

（2）令，则由（1）可得，原问题等价于：对任意的在上总有两个不同的实根，故在不可能是单调函数，对于参数a讨论得到结论。

（3）结合导数的几何意义得到结论。

（1）,当时，，时， 

  在区间上单调递增，在区间上单调递减,且，

   的值域为 .          ………………………….3分

（2）令，则由（1）可得，原问题等价于：对任意的在上总有两个不同的实根，故在不可能是单调函数  ……5分

当时, ， 在区间上递减，不合题意 ;

当时, ,在区间上单调递增，不合题意;

当时, ,在区间上单调递减，不合题意;

当即时, 在区间上单调递减; 在区间上单递增，由上可得，此时必有的最小值小于等于0且的最大值大于等于1， 而由可得，则.

综上，满足条件的不存在.……………………………………………8分

（3）设函数具备性质“”，即在点处地切线斜率等于，不妨设，则，而在点处的切线斜率为，故有……..10分

即，令，则上式化为，

令，则由可得在上单调递增，故，即方程无解，所以函数不具备性质“”.……..14分