Question

（本小题满分12分）如图：在三棱锥中，已知点、、分别为棱、、的中点．

    （1）求证：∥平面；

    （2）若，，求证：平面⊥平面．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析。

【解析】本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及面面的垂直的判定，同时考查空间想象能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．

（Ⅰ）欲证EF∥平面ABC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC内一直线平行，而EF是△SAC的中位线，则EF∥AC．又EF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，满足定理所需条件；

（Ⅱ）欲证平面SBD⊥平面ABC，根据面面垂直的判定定理可知在平面ABC内一直线与平面SBD垂直，而SD⊥AC，BD⊥AC，又SD∩DB=D，满足线面垂直的判定定理，则AC⊥平面SBD，又AC⊂平面ABC，从而得到结论

证明：（Ⅰ）∵是的中位线，∴∥.

又∵平面，平面，∴∥平面

（Ⅱ）∵,，∴.∵,，∴.

又∵平面，平面，，∴平面，

又∵平面，∴平面