Question

（本小题满分12分）如图所示，正方形和矩形所在平面相互垂直，是的中点． 

    （1）求证：；

    （2）若直线与平面成45^o角，求异面直线与所成角的余弦值．

Answer

（I）证明：见解析；（Ⅱ）异面直线与所成角的余弦值为．

【解析】本题主要考查线线垂直，线面垂直，面面垂直间的转化以及异面直线所成的角的求法

（I）由矩形ADEF可知ED⊥AD，又因为平面ADEF⊥平面ABCD，得到ED⊥平面ABCD，从而有ED⊥AC．（Ⅱ）由（I）ED⊥平面ABCD，可知∠EDB是直线BE与平面ABCD所成的角，又由AM∥GE，知∠MAC是异面直线GE与AC所成角或其补角然后在△MAC中用余弦定理求解．

（I）证明：在矩形中， 

  ∵ 平面平面，且平面平面

  ∴   ∴--------------6分

（Ⅱ）由（I）知：

∴ 是直线与平面所成的角，即-----------8分

设，取，连接   ∵是的中点

  ∴     ∴ 是异面直线与所成角或其补角--------10分

连接交于点    ∵ ，的中点

∴     ∴

∴ 异面直线与所成角的余弦值为．-------12分