Question

（本小题满分14分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，

使平面AEFD⊥平面EBCF （如图）．

（1）当时，求证：BD⊥EG ；

（2）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；

（3）当取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值．

Answer

（1）见解析；（2）时有最大值为．（3）二面角的余弦值为－．

【解析】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，棱锥的体积，直线与平面垂直的性质，其中（1）的关键是建立坐标系，将线线垂直转化为向量数量积为0，（2）的关键是利用等体积法将三棱锥BCDF的体积，转化为四棱锥ABCF的体积，（3）的关键是求出平面BDF和平面BCF的法向量，将二面角问题转化为向量的夹角．

（1）由AEFD⊥平面EBCF，EF∥BC∥AD，可得AE⊥EF，进而由面面垂直的性质定理得到AE⊥平面EBCF，进而建立空间坐标系E-xyz，求出BD，EG的方向向量，根据两个向量的数量积为0，即可证得BD⊥EG；

（2）根据等体积法，我们可得f（x）=VD-BCF=VA-BFC的解析式，根据二次函数的性质，易求出f（x）有最大值；

（3）根据（2）的结论，我们求出平面BDF和平面BCF的法向量，代入向量夹角公式即可得到二面角D-BF-C的余弦值．

（1）∵平面平面，

AE⊥EF，∴AE⊥平面，AE⊥EF，AE⊥BE，

又BE⊥EF，故可如图建立空间坐标系E-xyz．

，又为BC的中点，BC=4，

．则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），

（－2，2，2），（2，2，0），

（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴．………………4分

（2）∵AD∥面BFC，所以

=VA-BFC＝，

即时有最大值为．

（3）设平面DBF的法向量为，∵AE=2， B（2，0，0），D（0，2，2），

F（0，3，0），∴（－2，2，2），

则 ，即，

取，∴

，面BCF一个法向量为，则cos<>=，

由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－．