Question

（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C₁：2x²－y²＝1.

(1)过C₁的左顶点引C₁的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；

(2)设斜率为1的直线l交C₁于P、Q两点．若l与圆x²＋y²＝1相切，求证：OP⊥OQ；

Answer

(1) S＝|OA||y|＝.(2)见解析。 

【解析】(1)先把双曲线的方程化成标准方程可求出a值，从而得到左顶点A,渐近线方程：y＝±x,然后可设出过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为y＝，即y＝x＋1.它再与另一条渐近线方程联立解方程组可求出交点坐标，从而得到所求三角形的高，度显然等于|OA|，面积得解.

(2) 设直线PQ的方程是y＝x＋b，因直线PQ与已知圆相切，

故＝1，即b2＝2.

由得x2－2bx－b2－1＝0（*）

设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，然后证·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)=2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2,借助（*）式方程中的韦达定理代入此式证明·＝0即可.

(1)双曲线C1：－y2＝1，左顶点A，渐近线方程：y＝±x.

过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为y＝，即y＝x＋1.

解方程组得

所以所求三角形的面积为S＝|OA||y|＝.

(2)设直线PQ的方程是y＝x＋b，因直线PQ与已知圆相切，

故＝1，即b2＝2.

由得x2－2bx－b2－1＝0.

设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则

又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，所以

·＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2

＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.

故OP⊥OQ.