Question

（本小题满分14分）               

已知函数的图像经过点.

（1）求该函数的解析式；

（2）数列中，若，为数列的前项和，且满足，

证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；

（3）另有一新数列，若将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成

如下数表：

记表中的第一列数构成的数列即为数列，上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当

时，求上表中第行所有项的和．

Answer

（1）.（2）

（3）．

【解析】本试题主要是考查了数列与函数的综合运用。

（1）由函数的图像经过点得：，

函数的解析式为

（2）由已知，当时，，即.

又，

所以，即，

所以得到通项公式。

（3）设上表中从第三行起，每行的公比都为，且．

因为，

所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项，

故在表中第13行第三列，然后利用数列的公式得到求解。

解（1）由函数的图像经过点得：，

函数的解析式为.              …………..2分

（2）由已知，当时，，即.

又，

所以，即，……………..5分

所以，                      ……………………..7分

又．

所以数列是首项为1，公差为的等差数列．

由上可知，即．

所以当时，．

因此             ……………………..9分

（3）设上表中从第三行起，每行的公比都为，且．

因为，

所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项，

故在表中第13行第三列，             ……………………..11分

因此．

又，  所以．  ……………………..13分

记表中第行所有项的和为，

则．…..16分