Question

以椭圆的右焦点为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于点M，N，

若过椭圆左焦点的直线MF₁是圆的切线，则椭圆的离心率为                 

Answer

【解析】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查学生分析问题、解决问题的能力

由题意根据椭圆的定义和焦半径和圆的半径关系得：|MF2|=|OF2|=c，|MF1|+|MF2|=2a，|F1F2|=2c，然后利用过椭圆左焦点的直线MF1是圆的切线，则利用垂直关系得到直角三角形MF1F2结合勾股定理得到，|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2，即（2a-c）2+c2=4c2，整理得2a2-2ac-c2=0，即e2+2e-2=0，解得e=。故答案为。

解决该试题的关键是先根据题意和椭圆定义可知|MF2|=|OF2|=c，|MF1|+|MF2|=2a，|F1F2|=2c 进而根据勾股定理建立等式求得e。