Question

（本题满分15分）

设有半径为3的圆形村落，、两人同时从村落中心出发。一直向北直行；先向东直行，出村后一段时间，改变前进方向，沿着与村落边界相切的直线朝所在的方向前进。

（1）若在距离中心5的地方改变方向，建立适当坐标系，

求：改变方向后前进路径所在直线的方程

（2）设、两人速度一定，其速度比为，且后来恰与相遇.问两人在何处相遇？

（以村落中心为参照，说明方位和距离）

Answer

(1) ；(2) A、B相遇点在村落中心正北距离千米处

【解析】本题考查了圆的方程的综合应用，在这个题中注意解决实际问题的基本步骤，及题目条件的转化，体现了转化思想和数形结合思想，是个中档题．

（1）建立如图坐标系：得到点的坐标，进而求解

（2）先根据题意，以村落中心为坐标原点，向东的方向为x轴建立直角坐标系，根据两人的速度关系设其速度及各点，将实际问题转化为数学问题，利用图形中的直角三角形得到5x0=4y0，代入直线的斜率公式可得直线的斜率，再利用直线与圆相切即可的直线方程，也就得到了该问题的解．

(1)建立如图坐标系：

(2)由题意可设A、B两人速度分别为3v千米/小时 ，v千米/小时，

再设A出发x0小时，在点P改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇.

则P、Q两点坐标为（3vx0, 0），（0,vx0+vy0）.

由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2知，

（3vx0）2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2,

即.

……①

将①代入 

又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置.

设直线相切，则有 

答：A、B相遇点在村落中心正北距离千米处