Question

（本小题满分14分)如图，椭圆：的左焦点为，右焦点为，离心率．过的直线交椭圆于两点，且△的周长为．

（Ⅰ）求椭圆的方程．

（Ⅱ）设动直线：与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）∵过的直线交椭圆于两点，且△的周长为．

∴∴∵，∴,∴

∴椭圆的方程为                                           ……4分

（Ⅱ）由，消元可得:        ……5分

∵动直线：与椭圆有且只有一个公共点，

∴∴∴,      

此时即,

由得                                    ……8分

取，此时，

以为直径的圆为，交轴于点,

取，此时，

以为直径的圆为交轴于点或,

故若满足条件的点存在，即，                                 ……1２分

证明如下

∵，

∴

故以为直径的圆恒过轴上的定点.                           ……1４分

考点：本小题主要考查椭圆标准方程的求法、直线与椭圆的位置关系以及与圆结合的综合问题，考查学生综合运用所学知识的能力和计算能力.