Question

（本小题满分14分）

已知二次函数满足以下两个条件：

①不等式的解集是（-2，0）   ②函数在上的最小值是3 

（Ⅰ）求的解析式；

 （Ⅱ）若点在函数的图象上，且

（ⅰ）求证：数列为等比数列

（ⅱ）令，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在，指出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）f（x）= x 2 + 2 x  .

（Ⅱ）（ⅰ）见解析；（ⅱ） 

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为根据题意可知f（x）< 0 的解集为（-2，0），且f（x）是二次函数

因此可设  f（x）= a x（x + 2） （a > 0），故 f（x）的对称轴为直线 ，

f（x）在 [1，2]上的最小值为f（1）=3a =3 ，得到参数a的值。

（Ⅱ）（ⅰ）因为点（a n , a n + 1 ）在函数f（x）= x 2 + 2 x 的图象上

∴得到递推关系式 a n + 1  = a n 2 + 2 a n  ,  构造等比数列求解通项公式。

（ⅱ）由上题可知，要使得不等式恒成立，即对于一切的恒成立，转换为二次不等式求解。

【解析】
（Ⅰ）∵ f（x）< 0 的解集为（-2，0），且f（x）是二次函数

       ∴ 可设  f（x）= a x（x + 2） （a > 0），故 f（x）的对称轴为直线 ，

       ∴  f（x）在 [1，2]上的最小值为f（1）=3a =3 ，

       ∴ a = 1 ，所以f（x）= x 2 + 2 x  .

（Ⅱ）（ⅰ）∵ 点（a n , a n + 1 ）在函数f（x）= x 2 + 2 x 的图象上，

∴ a n + 1  = a n 2 + 2 a n  ,则 1 + a n + 1  = 1 + a n 2 + 2 a n = （1 + a n）2 

           ∴ , 又首项

           ∴ 数列 为等比数列，且公比为2 。

（ⅱ）由上题可知，要使得不等式恒成立，即对于一切的恒成立，

法一：对一切的恒成立，

令，

∵在是单调递增的，∴的最小值为

＝      所以 

法二：

设

当时，由于对称轴直线，且 ，而函数在 是增函数，∴不等式恒成立

即当时，不等式对于一切的恒成立

考点：本试题主要考查了数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．