Question

(本小题满分12分)

已知点是区域,()内的点，目标函数，的最大值记作.若数列的前项和为，,且点（）在直线上.

（Ⅰ）证明：数列为等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和.

Answer

【解析】
（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）∴

【解析】

试题分析：（1）根据当直线过点时，目标函数取得最大值，故

进而得到的关系式，然后利用通项公式与前n项和的关系得到证明。

（2）由（Ⅰ）得，∴，根据通项公式的特点，分组求和得到结论。

【解析】
（Ⅰ）由已知当直线过点时，目标函数取得最大值，故

∴方程为

∵（）在直线上， 

∴ ①

∴  ②

由①-②得，       ∴，

 ∴

∵，     ∴数列以为首项，为公比的等比数列

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴

∵，   ∴

∴

考点：本试题主要考查了等比数列的定义和数列的求和的综合运用。