Question

（本题满分12分）已知函数，

其中（且 

⑴求函数的定义域；

⑵判断函数的奇偶性，并予以证明；     

⑶判断它在区间（0,1）上的单调性并说明理由。

Answer

⑴ ；⑵

⑶区间（0,1）上为单调递增函数。

【解析】(1)函数f(x)+g(x)的定义域应该是f(x),g(x)定义域的交集即,

，所以，即所求函数的定义域为(-1,1).

(2)由（1）知其定义域关于原点对称，并且根据对数的运算性质可得,

然后再根据奇偶函数的定义判断出H(-x)=-H(x),从而可知为奇函数。

(3)利用单调性的定义第一步取值：任取且；

第二步：作差变形判断的符号，再判断时要利用对数函数的性质，

第三步：得出结论。

⑴ 由题意得：

所以所求定义域为

⑵ 令

则

⑶，

任取且，则，

则

，，

在区间（0,1）上为单调递增函数。