Question

本小题满分10分

已知二次函数（其中）.

(1)若函数为偶函数，求的值；

(2)当为偶函数时，若函数，指出在上单调性情况，并证明之.

Answer

（1） ；（2）见解析。

【解析】本试题主要是考查了二次函数的奇偶性和函数的单调性的运用。

（1）为偶函数，即对任意， 

即，即对任意恒成立，得到a的值为零。

（2）由（1），若为偶函数，则，

当时，在上单调递减，在上单调递增，然后结合定义法证明。

【解析】
（1）为偶函数，即对任意，……………2分

即，即对任意恒成立   ……………3分

                                                                      ……………4分

（2）由（1），若为偶函数，则，

当时，在上单调递减，在上单调递增，证明如下：       ……………5分

设任意，且

          ……………7分

，且，，即

，即即

在上单调递减            ……………9分

同理，可得在上单调递增            ……………10分