Question

(12分) 若二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称，

且f(-2)＞f(3)，设m＞-n＞0.

(1) 试证明函数f(x)在(0，+∞)上是减函数；

(2) 试比较f(m)和f(n)的大小，并说明理由.

Answer

（1）见解析；（2）f(m)＜f(n).

【解析】（1）∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称，

∴对任意x∈R，恒有f(-x)=f(x)，即a(-x)2+b(-x)+c=ax2+bx+c恒成立，

据此可求出b=0. f(x)=ax2+c.再根据f(-2)＞f(3),且f(-2)=f(2),

得f(2)＞f(3),因而a<0.且 f(x)在(0，+∞)上是减函数..

（2）∵m＞-n＞0,∴f(m)＜f(-n).,再根据f(-n)=f(n)，可得f(m)＜f(n)..

∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称，

∴对任意x∈R，恒有f(-x)=f(x)，

即a(-x)2+b(-x)+c=ax2+bx+c恒成立.

∴2bx=0对任意x∈R恒成立.

∴b=0.

∴f(x)=ax2+c.

∵f(-2)＞f(3),且f(-2)=f(2),

∴f(2)＞f(3).

∴a<0.且 f(x)在(0，+∞)上是减函数.

又∵m＞-n＞0,

∴f(m)＜f(-n).

而f(-n)=f(n)，

∴f(m)＜f(n).