Question

关于的方程，给出下列四个命题：

①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；

其中假命题的个数是

A．0            B．1               C．2            D．3

Answer

A

【解析】本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想．还有作图能力。

关于x的方程（x2-1）2-|x2-1|+k=0可化为（x2-1）2-（x2-1）+k=0（x≥1或x≤-1）（1）或（x2-1）2+（x2-1）+k=0（-1＜x＜1）（2）,当k=-2时，通过解一元二次方程可知，方程（1）的解为±，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根

当k=时，解一元二次方程可知，方程（1）有两个不同的实根±，方程（2）有两个不同的实根±，即原方程恰有4个不同的实根,

当k=0时，解一元二次方程可知方程（1）的解为-1，+1，±

，方程（2）的解为x=0，原方程恰有5个不同的实根

当k=时，解一元二次方程可知方程（1）的解为±，方程（2）的解为±，即原方程恰有8个不同的实根,故选A

解决该试题关键是将x的方程可化为（x2-1）2-|x2-1|=-k，画出函数y=（x2-1）2-|x2-1|和y=-k的图象可得解。