Question

（10分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：

R(x)＝.

其中x是仪器的月产量．

(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)

Answer

 (1) f(x)＝.

(2)每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．

【解析】本题考查函数最值的应用，综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意分类讨论思想的灵活运用。

（1）设每月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，从而得到函数的解析式。

（2）当0≤x≤400时，f(x)＝－ (x－300)2＋25 000，

∴当x＝300时，有最大值25 000；

当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，然后得到最大值中比较大小的，得到结论。

【解析】
(1)设每月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，

从而f(x)＝.

(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－ (x－300)2＋25 000，

∴当x＝300时，有最大值25 000；

当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，

f(x)＜60 000－100×400＜25 000.

∴当x＝300时，f(x)的最大值为25 000.

∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．