Question

设函数上满足以为对称轴，且在上只有，试求方程在根的个数为（     ）

A、 803个             B、 804个              C、 805个               D、 806个 

Answer

C

【解析】本试题主要是考查了函数与方程的思想的运用，求解零点问题的综合试题。

因为函数f(x)关于x=7对称可知f(x)=f(14-x),又因为关于x=2对称，那么可知f(x)=f(4-x)故有f（4-x）=f（14-x）⇒f（x）=f（x+10），周期为10，又f（3）=f（1）=0⇒f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0，因为在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，故在[4，7]上无零点，又f（7-x）=f（7+x），故在[7，10]上无零点，故在[0，10]上仅有两个解，故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，从而可知函数y=f（x）在[0，2012]上有403个解，在[-2012.0]上有400个解，所以函数y=f（x）在[-2012，2012]上有805个解．故选C.

解决该试题的关键是分析在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，故在[4，7]上无零点，又f（7-x）=f（7+x），故在[7，10]上无零点，故在[0，10]上仅有两个解。然后利用周期性得到结论。