Question

（本小题满分14分）

 如图，四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA。

（1）求直线PC与平面PAD所成角的余弦值；（6分）

（2）求证：PC//平面EBD；（4分）

（3）求二面角A—BE—D的余弦值.（4分）

Answer

（1）直线PC与平面PAD所成角的余弦值. （2）见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）一点B为坐标原点，以BA为x轴，以BC为y轴，以BP为z轴，建立空间直角坐标至B-xyz，根据条件求出CD,PD，然后求出这两个向量的所成角即为异面直线CD与PA所成的角；

（2）欲证PC∥平面EBD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PC与平面EBD内一直线平行连接AC交BD于G，连接EG，根据比例关系可知PC∥EG，而EG⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，满足定理所需条件；

（3）先求平面EBD的法向量与平面ABE的法向量，然后利用向量的夹角公式求出此角的余弦值即二面角A-BE-D的大小的余弦值．

【解析】
（1）建立如图所示的直角坐标系……1分

∴………………2分

设平面PAD法向量为，

则，所以 …3分

设直线PC与面PAD所成角为，…4分

…………………5分

所以，直线PC与平面PAD所成角的余弦值.……………………6分

（2）连结AC交BD于G，连结EG，

 ，∴ ……………8分

 …………………………9分

∴…………………………10分

（3）设平面，由

考点：本试题主要考查了直线与平面的位置关系、两异面直线所成角、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．