Question

（本小题满分12分）已知圆C的圆心在直线y=2x上，且与直线l：x+y+1=0相切于点P（-1,0）.

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若A（1,0），点B是圆C上的动点，求线段AB中点M的轨迹方程，并说明表示什么曲线.

Answer

（Ⅰ）圆C：；

（Ⅱ），表示以（1,1）为圆心，为半径的圆.

【解析】

试题分析：）设圆心C（a，b）半径为r,要求圆心的方程需要建立关于a,b,r的三个方程，因为圆心在直线y=2x上,所以b=2a, 又C落在过P且垂直于l的直线y=x+1上,所以b=a+1,

又因为r=|CP|,从而可求出a,b,r的值.

(II)本小题属于相关点法求动点的轨迹方程，设M（x，y），B（x0，y0），则有，

可得，然后将B的坐标代入圆C的方程即可得到M的轨迹方程，再通过方程可判断出M的轨迹也是圆.

（Ⅰ）设圆心C（a，b）半径为r，则有b=2a，…………………1分

又C落在过P且垂直于l的直线y=x+1上，…………………3分

故有b=a+1，解得a=1，b=2，从而r=…………………5分

∴圆C：……………………………………6分

（Ⅱ）设M（x，y），B（x0，y0），则有，……………………8分

解得，代入圆C方程得，…………10分

化简得……………11分

表示以（1,1）为圆心，为半径的圆.………12分

考点：求圆的方程，相关点法求轨迹方程.