Question

(本小题满分14分)如图，在长方体中，，，点在棱上移动．

⑴ 证明：//平面；

⑵ 证明：⊥；

⑶ 当为的中点时，求四棱锥的体积.

Answer

(1)证明：见解析；(2) 证明：见解析；(3) E-ACD1的体积为．

【解析】

试题分析：（1）利用线线平行的来证明线面平行。

（2）由AE⊥平面AA1DD1，A1D⊂平面AA1DD1，知A1D⊥AE，再由AA1DD1为正方形，利用直线与平面垂直的性质，能够证明A1D⊥D1E．

（3） 设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，先求出△AD1C和△ACE的面积，再求出三棱锥D1-AEC的体积，由此能够求出点E到面ACD1的距离．进而得到体积。

(1)证明：∵ ABCD-A1B1C1D1是长方体

∴AB// D1C1，AB=D1C1，   ……1分

∴AB C1 D1为平行四边形，……2分

∴B C1 // AD1，         ……3分

又B C1平面ACD1，AD1Ì平面ACD1， ……4分

所以BC1//平面ACD1.   ……5分

(2) 证明：∵ AE⊥平面AA1D1D，A1DÌ平面AA1D1D，

∴ A1D⊥AE，                         ……6分

AA1D1D为正方形，∴A1D⊥A D1 ，                                 ……7分

又A1D∩AE =A，∴A1D⊥平面AD1E，                               ……9分

A1DÌ平面AD1E，∴A1D⊥D1E，                                   ……10分

(3) 【解析】
，      ……12分

                          ……13分

所以E-ACD1的体积为．                                 ……14分

考点：本试题主要考查了空间中点线面的位置关系的运用证明线线的垂直，和线面平行以及几何体的体积的综合运用。