Question

已知函数．

   （1）讨论的单调性；

   （2）设，证明：当时，；

   （3）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x₀，证明：（x₀）＜0．（本题满分14分）

Answer

（1）若单调增加.

   若，单调增加，在单调减少. 

（2）见解析。

【解析】

试题分析：【解析】
（1）…………………………………………1分

  …………………………2分

   （i）若单调增加.…………………3分

   （ii）若

且当

所以单调增加，在单调减少.  ……………………5分

 （2）设函数则

                                    …………………………………7分

当时，，所以单调递增，

故当，   ……………………………9分

（3）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，

故，从而的最大值为

不妨设

由（II）得

从而

由（I）知，   …………………………………………………14分

考点：本题考查利用导数求函数的单调性、综合分析和解决问题的能力以及分类讨论的思想方法。