Question

设椭圆的左、右顶点分别为、，点在椭圆上且异于、两点，为坐标原点.

（1）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；

（2）对于由(1)得到的椭圆，过点的直线交轴于点，交轴于点，若，求直线的斜率.

Answer

(1) .

(2) 的斜率.

【解析】试题分析：(1)先求出A，B的坐标，然后利用与的斜率之积为,建立关于a的方程，从而求出a值，进一步可求出椭圆的离心率.

（2）设直线 的斜率为 , 直线的方程为,则有，

设，由于三点共线，且,

再把此条件坐标可知,从而得到或,

再利用点P在椭圆上，可建立关于k的方程求出k的值.

【解析】
(1) 由已知,设.              …………1分

则直线的斜率,

直线的斜率.

由,得.                            …………2分

     …………3分

,得,                                        …………4分

.                                              …………5分

椭圆的离心率.                                        …………6分

(2) 由题意知直线的斜率存在.                                  …………7分

设直线 的斜率为 , 直线的方程为                 …………8分

则有，

设，由于三点共线，且

根据题意，得     …………9分

解得或             …………11分

又点在椭圆上，又由（1）知椭圆的方程为

所以…………①

或 …………②

由①解得，即,

此时点与椭圆左端点重合, 舍去;            …………12分

由②解得，即                             …………13分

直线直线的斜率.                              …………14分

考点：本小题主要考查直线斜率、椭圆的方程、离心率、向量的运算等知识，考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法，考查综合运用能力以及运算求解能力.