Question

已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为d，为其前n项和，且满足,．数列满足,， 为数列的前n项和．

（1）求数列的通项公式和数列的前n项和；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）

（2）．           ……9分

（3） 存在        

【解析】试题分析：(1)由可令n=1,n=2得到关于a1与d的两个方程，从而可解出a1和d,得到an的通项公式.因为,所以显然要采用裂项求和的方法求出其前n项和.

(2)因为本小题是关于n的不等式恒成立问题，应对n的奇偶进行讨论.分别再对得到的结果求交集.

（3）解本小题的关键由，

若成等比数列，则，即．

从而得,据此得到m的范围，找到m的值，进一步得到n的值.

【解析】
（1）在中，令，，

得   即      ……1分

解得，，                 ……2分

又时，满足，

，    ……3分

．   ……4分

（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．    ……5分

 ，等号在时取得

此时 需满足                      ……6分

②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     ……7分

 是随的增大而增大， 时取得最小值．

此时 需满足．           ……8分

综合①、②可得的取值范围是．           ……9分

（3），

若成等比数列，则，……10分

即．                         

由，可得，  ……12分

即，

．           ……13分     

又，且，所以，此时．

因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列．    …14分

 [另解] 因为，故，即，

．

考点：本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力.