Question

甲和乙参加智力答题活动，活动规则：①答题过程中，若答对则继续答题；若答错则停止答题；②每人最多答3个题；③答对第一题得10分，第二题得20分，第三题得30分，答错得0分。已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为。

（1）求甲恰好得30分的概率；

（2）设乙的得分为，求的分布列和数学期望；

（3）求甲恰好比乙多30分的概率.

Answer

（1）

（2）分布列见解析        数学期望

（3）

【解析】

试题分析：（1）要求甲恰好得30分的概率，我们分析活动规则后可得，甲恰好得30分，说明甲前两题都答对，而第三题答错，代入分步事件概率公式即可得到答案．

（2）设乙的得分为ξ，则ξ的取值为0，10，30，60，我们根据活动规则，分析出ξ取不同值时的情况，代入概率公式即可求解．（3）要求甲恰好比乙多30分的概率，我们要先分析甲恰好比乙多30分的发生情况，由（2）的结论，共有两种情况，即甲恰好得30分且乙恰好得0分，或是甲恰好得60分且乙恰好得30分，代入概率公式即可求解 。

【解析】
（I）甲恰好得30分，说明甲前两题都答对，而第三题答错，其概率为，-------3分

（II）的取值为0，10， 30，60.--------4分

，

，

的概率分布如下表：

0

10

30

60

---------8分

-------10分

（III）设甲恰好比乙多30分为事件A，甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件B1,

 甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件B2，则A=为互斥事件.

.

所以，甲恰好比乙多30分的概率为-----------14分

考点：本题主要考查了相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力。