Question

（本题满分14分）已知四边形满足∥，，是的中点，将沿着翻折成，使面面，为的中点.

（Ⅰ）求四棱锥的体积；（Ⅱ）证明：∥面；

（Ⅲ）求面与面所成二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取的中点连接，

因为，所以为等边三角形，

所以，

又因为面面，所以面，                       ……2分

所以四棱锥的体积               ……5分

（Ⅱ）连接交于，连接，

因为为菱形，所以，

又为的中点，所以∥，

因为,,

所以∥面.                                                   ……9分

（Ⅲ）连接，分别以为轴建立空间直角坐标系.

则

,

                                  ……10分

设面的法向量，则，

令，则.

设面的法向量为，则，

令，则.                                         ……12分

则所以二面角的余弦值为        ……14分

考点：本小题主要考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定和证明，考查椎体体积公式的应用和二面角的求法，考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力和运算求解能力.