Question

（本题16分）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值.

Answer

（1），（2）存在，，(3) 最小值

【解析】利用抛物线的几何性质、圆的方程以及直线与圆锥曲线的位置关系求解。

试题分析：

（1）由题意，知，圆心在线段的中垂线上，抛物线准线方程为，所以，得，，抛物线方程为……………………….4分

（2）假设存在点满足条件，抛物线在点处的切线斜率为，所以，直线，令，得，故，

又，得，，由，解得，满足条件。…………………………………………8分

（3）当时，由（2）知，圆的半径，

圆设，由，整理得 ，，

设，由，整理得，

，令，，，

，

，当时，，在递增，故当，即时，有最小值……………………………………………………………….16分

考点：本题主要考查了抛物线的几何性质、圆的方程以及直线与圆锥曲线的位置关系等，综合考查了学生的运算求解能力和推理论证能力。