Question

（本小题共14分）已知函数其中常数.

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）当时，若函数有三个不同的零点，求m的取值范围；

（3）设定义在D上的函数在点处的切线方程为当时，若在D内恒成立，则称P为函数的“类对称点”，请你探究当时，函数是否存在“类对称点”，若存在，请最少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由.

Answer

（1）的单调递增区间为.（2）.

（3）是一个类对称点的横坐标.

【解析】

试题分析：（1）由f′(x)=2x-(a+2)+ = =

，能求出当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间．

（2）a=4，f′（x）=2x+ -6，故f′(x)=2x+ -6≥4 -6，不存在6x+y+m=0这类直线的切线．

（3）y=g(x)=(2x0+ -6)(x-x0)+ -6x0+4lnx0，令h（x）=f（x）-g（x），由此入手，能够求出一个“类对称点”的横坐标．

【解析】
（1）由可知，函数的定义域为，

且.

因为，所以.

当或时，；当时，，

所以的单调递增区间为.

（2）当时，.

所以，当变化时，，的变化情况如下：

（0,1）

1

（1,2）

2

（2，

+

0

—

0

+

单调递增

取极大值

单调递减

取极小值

单调递增

所以，

.

函数的图象大致如下：

所以若函数有三个不同的零点，.

（3）由题意,当时，，则在点P处切线的斜率；所以

.

令，

则，.

当时，在上单调递减，所以当时，从而有时，；

当时，在上单调递减，所以当时，从而有时，；所以在上不存在“类对称点”.

当时，，所以在上是增函数，故

所以是一个类对称点的横坐标.

考点：本题主要是考查函数的单调区间的求法，考查类对称点的求法．