Question

(本小题满分12分)如图所示是某水产养殖场的养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣，为避免混养，用筛网(图中虚线)把大网箱隔成大小一样的小网箱．

(1)若大网箱的面积为108平方米，每个小网箱的长x，宽y设计为多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小；

(2)若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超过15米，则小网箱的长、宽为多少米时，可使总造价最低？

Answer

(1)每个小网箱的长与宽分别为与4.5米与3米时，网箱中筛网的总长度最小．

(2)当小网箱的长与宽分别为米与米时，可使总造价最低．

【解析】

试题分析：（1）将实际问题转化成数学问题，出现乘积是定值，且等号能取到，利用基本不等式求最值．

（2）将实际问题转化成数学问题，出现乘积是定值，但等号取不到，不能用基本不等式求最值，利用导数求函数单调性求最值．

(1)设小网箱的长、宽分别为x、y米，筛网总长度为L，

依题意4x·2y＝108，即xy＝，L＝4x＋6y. ……1分

因为4x＋6y＝2(2x＋3y)≥4＝36，所以L≥36. ………3分

当且仅当2x＝3y时，等号成立，

解方程组得……5分

即每个小网箱的长与宽分别为与4.5米与3米时，网箱中筛网的总长度最小．………6分

(2)设总造价为W元，则由4x·2y＝160，得xy＝20. ……7分

因为4x≤15,2y≤15，所以x≤，y≤.

又因为y＝≤.

所以≤x≤.……8分

W＝(8x＋4y)·112＋(4x＋6y)·96＝·112＋·96＝1 280.……9分

求导，可得W(x)在上单调递减．……10分

所以当x＝时，W最小，此时x＝，y＝.……11分

即当小网箱的长与宽分别为米与米时，可使总造价最低．………12分

考点：本试题主要考查了在实际问题中，运用均值不等式求解最值的运用。