Question

12分）某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD=BD=14，BC=10,AC=16,∠C=∠D．

(I)求AB的长度；

(Ⅱ)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）A、B两点的距离为14.（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得cosC 的值，在△ABD中，由余弦定理得cosD 的值，由∠C=∠D得 cosC=cosD，求得AB=7，从而得出结论．

（Ⅱ）小李的设计符合要求，因为由条件可得 S△ABD＞S△ABC，再由AD=BD=AB=7，得△ABD是等边三角形．由此求得S△ABC的值，再乘以5000，即得所求．

【解析】
（Ⅰ）在中，由余弦定理得

  ①

在中，由余弦定理及整理得

    ②………4分

由①②得：

整理可得 ，……………6分

又为三角形的内角，所以,

又,,所以是等边三角形，

故，即A、B两点的距离为14.……………8分

（Ⅱ）小李的设计符合要求.理由如下：

因为…………12分

所以

考点：本试题主要考查了余弦定理的应用，考查三角形面积的计算，考查利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题