Question

（14分）设函数.

（1）当时，求的极值；

（2）当时，求的单调区间；

（3）若对任意及，恒有成立，求的取值范围

Answer

（Ⅰ）的极小值为，无极大值 .

（Ⅱ）当时，的递减区间为；递增区间为.

当时，在单调递减.

当时，的递减区间为；递增区间为.

（Ⅲ） .

【解析】

试题分析：（1）将a=0代入函数解析式中可知，函数的导数，然后运用导数的符号与单调性的关系求解单调区间，并得到极值。

（2）当a>0时，利用导函数，对于参数a，进而分类讨论研究其单调性，看开口和判别式得到。

(3)要证明不等式恒成立，只要利用第二问的结论根据最大值和最小值得到求解。

【解析】
（Ⅰ）依题意，知的定义域为.

当时， ，.

令，解得.

当时，；当时， .

又，

所以的极小值为，无极大值 . …………………………（4分）

（Ⅱ）

当时，，

令，得或，

令，得；

当时，得，

令，得或，

令，得；

当时，.

综上所述，当时，的递减区间为；递增区间为.

当时，在单调递减.

当时，的递减区间为；递增区间为.

                                     …………………………………（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在单调递减.

当时，取最大值；当时，取最小值.

所以

.………………（11分）

因为恒成立，

所以，

整理得.

又 所以，

又因为 ，得，

所以

所以 . ……………………………………………………………（14分）

考点：本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。