Question

（本题满分12分）如图，在三棱锥中，

底面，点，

分别在棱上，且

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的正弦；

（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）存在点E使得二面角是直二面角.

【解析】

试题分析：以A为原煤点建立空间直角坐标系，设，由已知可得

.

（Ⅰ）∵，

∴，∴BC⊥AP.又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，∴，

∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵，∴.

∴与平面所成的角的大小.

（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角的平面角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，故存在点E使得二面角是直二面角.

考点：平行垂直的证明及求线面角，二面角