Question

设两非零向量e₁和e₂不共线.

(1)如果＝+ ,＝2 +8 ,＝3(-),求证:A、B、D三点共线;

(2)试确定实数k,使k + 和+k 共线;

(3)若| |＝2,| |＝3, 与的夹角为60°,试确定k的值,使k + 与+k 垂直.

Answer

（1）见解析；（2）k＝±1.；（3）

【解析】

试题分析：(1)证明:＝6(+)＝,

∴∥,与有公共点A.

∴A、B、D三点共线.

(2)∵k + 和+k 共线,

∴存在λ使k + ＝λ(+k),

即(k-λ) +(1-λk) ＝0.

∵与为非零不共线向量,

∴k-λ＝0且1-λk＝0.∴k＝±1.

(3)由(k+ )·(+k )＝0,

k| |2+(k2+1) ·+k| |2＝0,得

k×22+(k2+1)×2×3×cos60°+k×32＝0

4k+3k2+3+9k＝03k2+13k+3＝0,

∴  .

考点：本题主要考查空间向量的线性运算、向量数量积的应用。