Question

如图，在四棱锥中，底面，，  ，    ，是的中点．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）证明：平面；

（Ⅲ）求二面角的正切值．

Answer

（Ⅰ）证明：见解析。（Ⅱ）证明：见解析。（Ⅲ）二面角的正切值是．

【解析】

试题分析：（1）根据题目中的线面的垂直性质定理得到线线垂直的证明。

（2）利用上一问的结论和线面垂直的判定定理得到证明。

（3）结合三垂线定理作出二面角的平面角，然后借助于三角形来求解大小。

（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．

，平面．

而平面，．…………………………………………（4分）

（Ⅱ）证明：由，，可得．

是的中点，．

由（Ⅰ）知，，且，所以平面．

而平面，．

底面在底面内的射影是，，．

又，综上得平面．………………………………（8分）

（Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．

因此是二面角的平面角．

由已知，得．设，

可得．

在中，，，

则．

在中，．

所以二面角的正切值为．……………………………………（12分）

解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为．

过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角．

由已知，可得，设，

可得．

，．

于是，．

在中，．

所以二面角的正切值是．

（建立直角坐标系相应给分）

考点：本题主要考查空间几何体线线的垂直的证明，以及线面垂直的判定定理的运用和二面角的平面角的求解问题。